Die Fortsetzung mit kleinen Beispielen folgt…

[1] Sachs, Lothar; und Jürgen Hedderich; A ngewandte Statistik : Methodensammlung mit R; Berlin : Springer Berlin, 2009 Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R Seite 109
[2]Data Analysis Using Regression and Multilevel/Hierarchical Models; Cambridge;2009; Gelman, Hill

Tabelle 1 Gemessene Werte Entladung eines Kondensators( u=Spannung, t= Zeit, u0=Anfangsspannung, R = Widerstand, C= Kapazität)

Entladung eines Kondensators

Mit den Daten aus dem Beispiel lassen sich die Parameter über eine Lineare Regression mit RC= 5, 6 s und u0= 99 V bestimmen.  Weiter unten dazu der R-Code.

#-- Gemessene Werte Entladung eines Kondensators

#-- u=Spannung, t= Zeit, u0=Anfangsspannung, R = Widerstand, C= Kapazität
#-- u(t) = u0*exp(-t/R*C)
#-- ln(u) = ln(u0) - t/R*C
t <- c(1,4,7,10,15);  u <- c(80,45,25,14,5)
x<-t; y<-log(u)
#-- lineare Regression

summary(fit<-lm( y ~ x ))
#-- Rücktransformation der Parameter
(u0<-exp(coef(fit)[1]))
(RC<- -1/coef(fit)[2])

In Fällen, in denen keine Linearisierung existiert oder wenn durch die Linearisierung die Voraussetzungen der Regressionsrechnung verletzt werden, kann durch geeigneter Iterationsverfahren schrittweise eine Lösung bestimmt werden. Mehr dazu folgt bald  in einem weiterführenden Blogeintrag.

Literatur:

Papula,  L., Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band3, 3 Auflage, Viewegs, 1999

Trend bei relativen Häufigkeiten

Der Cochran-Armitage Test prüft eine als linear ansteigend gedachte Häufigkeit mit Hilfe der Chi²-Statistik (vergl.  Sachs, Seite 599). Der Test ist vom Rechenaufwand eher einfach und kann durchaus von  Hand oder mit Excel bewerkstelligt werden. Die Formel dafür findet man bei Wikipedia Cochran-Armitage_test_for_trend. Wie der Test mit R umgesetzt werden kann hat Matthew Markus auf Posterous beschrieben matthewmarkus.

Im Fall meines Beispiels liefert der  Chi²-Test nach Ansatz von Cochran und Armitag die Werte  Chi²=14,93 und p<0,01.  Der Wert für den Trend zeigt einen signifikanten Anstieg der Erkrankungsrate mit der Zunahme der Schadstoffkonzentration.

Literatur:

[1] Sachs, Lothar; und Jürgen Hedderich; A ngewandte Statistik : Methodensammlung mit R; Berlin : Springer Berlin, 2009 Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R

Ich habe dabei zwei Ansätze verfolgt: Der Erste war die Effekte über eine klassische Varianzanalyse zu beschreiben mit dieser Methode bleiben aber saisonale Schwankungen unberücksichtigt. Der zweite Ansatz, baute auf einen Vorschlag von Roger D. Peng auf die Messdaten in ihre saisonalen Komponenten zu zerlegen und diese Komponenten weiter zu untersuchen. Bei beiden Methoden war eine Tendenz zur Verringerung der NOx-Konzentration durch die Tempo 100-Regelung nachweisbar.

Literatur:
Peng, F. Dominici R.: Statistical Methods for Enviromental Epidemiology with R. Springer, New York, 2008.
Peter, W.: Detaillierte Studie der NOx Emissionen im Zuge der Tempo 100 Verordnung in Tirol, MCI, Innsbruck, 2009
Daten:
Amt der Tiroler Landesregierung; Andreas Weber, Abt. Waldschutz FB Luftgüte; Franz Schöler, Abt. Waldschutz Gruppe Forst

Zur Veranschaulichung habe ich hier ein konstruiertes Beispiel. In einer Landesweiten Studie wird die Wirkung eines Luftschadstoffs auf das Auftreten eine bestimmten Krankheit untersucht. Dazu werden in unterschiedlichen Gebieten mit bekannten durchschnittlichen Konzentrationen  eines Luftschadstoffs Erhebungen über das Auftreten einer bestimmten Krankheit durchgeführt.

Tabelle 1: Beispieldaten

Das Gebiet mit einer Konzentration von >0,1 mg/³ sei dabei die Kontrollgruppe. Die Risiko-Maße errechnen sich wir folgt.

(1) Erkrankungsrate bei Exponierten (4 mg/m³): 14/(1367+14) = 0,010
(2) Erkrankungsrate Kontrollgruppe:            15/(1575+15) = 0,009
(3) Relative Risiko:          (14/(1367+14))/(15/(1575+15)) = 1,075
(4) Odds-Ratio:                         (14/15)*(1575/1367) = 1,075

Das Erkrankungsrisiko ist bei einer Konzentration 4 mg/m³ nicht größer als bei Nicht-Exponierten. Eine Zusammenfassung der anderen Werte ist in der Tabelle 2 aufgelistet.  (Das sich die Werte Relatives Risiko und Odds Ratio ähnlich sind ist reiner Zufall und durch runden auf eine Kommastelle bedingt.)

Tabelle 2:  Zusammenfassung der Risiko-Maße  (Erkrankungsrate Kontrollgruppe 0,9%)

Aus der Analyse des Odds-Ratio lässt sich ableiten, dass ab einer Konzentration von 14 mg/m³ eine Beeinträchtigung zu erwarten ist. Ob das Ergebnis signifikant ist, lässt sich durch die Risiko-Maße noch nicht beurteilen, dazu müssten noch die Konfidenzintervalle der Odds-Ratio berechnet werden. Eine  Berechnung der 95%-Konfidenzintervalle  kann z.B. mit SPSS über Kreuztabellen angefordert werden oder mit R, mittels der Funktion oddsratio(), die im dem Paket library(vcd) enthalten ist, ausgeführt werden. Die sich abzeichnende Zunahme der Erkrankungsrate kann mit dem Cochran-Armitage Test geprüft werden.

Tabelle 1: Relatives Risiko und Exposition entnommen  Sachs 2009 Seite 569

Literatur:

[1] Sachs, Lothar; und Jürgen Hedderich; A ngewandte Statistik : Methodensammlung mit R; Berlin : Springer Berlin, 2009 Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R

Um all die Tabellen zu deuten bedarf es eines statistischen Hintergrundwissens daher beschreibe ich hier ein fiktives  Beispiel für eine Datenreihe mit Messwiederholung.

Die Messwerte sind die Beobachtung von zwei Patienten-Gruppen Kontrollgruppe und Untersuchungsgruppe. Bei den Patienten handelt es sich um Intensivpatienten, beim  Messwert um die Restmenge an Mageninhalt der  über die Zeit beobachtet wird.

Abb1: Profildiagramm zu den Daten im Beispiel

Bei der Betrachtung von Messwiederholungen sind zwei wesentliche Eigenschaften von Interesse der Gipfelwert und das Wachstum.  In der Abbildung wird deutlich, dass die Patientengruppe mit der Therapie einen andern Verlauf in der Restmenge aufweist als die Kontrollgruppe.  Start und Endwert sind nicht sehr unterschiedlich, das Maximum ist deutlich unterschiedlich und bei der Kontrollgruppe zeigt sich ein deutlich ausgeprägter Gipfelwert.

Auswerten mit Excel

Der Verlauf eines Gipfelwerts lässt sich bereits mit  MS-Excel  auswerten.  Mit den Bordmitteln von Excel lassen sich Minimum,  Maximum,  Regressionskoefizienten und AUC (Fläche unter der Kurve) berechnen und mit einem T-Test auf Signifikanz prüfen.  Den T-Test gibt es bei Excel über die Analysefunktionen.  Das Excel Beispiel dazu  habe ich hier. (Die zugrunde liegenden Formeln finden sich bei Sachs 2009  Seite 545).

Aus den vorliegenden Ergebnisse lässt sich ableiten: Der Startwert unterscheidet sich nicht signifikant.  Der Maximalwert(p=0,007) und die Fläche (p0,032)  unter der Kurve sind signifikant verschieden. Zum Zeitpunkt der letzten Messung kann aus den Daten kein Unterschied belegt werden.

Tab1:  Wiederholte Messung in zwei Gruppen (Untersuchungsgruppe mit Therapie Kontrollgruppe ohne Therapie) zu 5 verschiedenen Zeitpunkten angegeben. In der Tabelle sind Mittelwerte, T-Wert und Signifikanz. Auswertung mit MS- Excel

Als erste Betrachtung ist diese Auswertung mit Excel durchaus hinreichend für weitergehende Analysen ist es notwendig sich genauer Gedanken über Verteilung der Daten und der zugrunde liegenden Hypothesen zu machen.

Auswerten mit SPSS

Der traditionelle Ansatz für die Analyse von Messwiederholungen ist die Varianzanalyse (ANOVA) die drei spezielle Fragestellungen prüft: die Wechselwirkung zwischen den Gruppen und der Zeit, der Effekt durch den Studienfaktor und der Effekt durch die Wiederholung (Zeit). Mit MS-Excel ist eine solche Auswertung schon recht aufwändig, daher ist es besser mit einer Statistik-Software weiterzuarbeiten.

Wichtige Voraussetzung ist, das die Messwerte angenähert der Normalverteilung entsprechen und das die so genannte Sphärizität gegeben ist (Sphärizität bedeutet das die Differenzen zwischen den Faktorstufen gleich sind).  Weiter  muss man sich Gedanken über das zugrunde liegende Modell machen (Modell I für  feste Effekte, Modell II für  zufällige Effekte oder  Modell III für gemischte Effekte). Wenn die Daten mit SPSS ausgewertet werden,  braucht man sich scheinbar um die zugrunde liegenden Modelle und Voraussetzungen keine Gedanken zu machen.  Da SPSS standardmäßig alles berechnet was eventuell von Nutzen sein könnte und es dem kundigen Nutzer überlässt die relevanten Zahlen zu finden.

Zunächst wird eine Berechnung zum Faktor Zeit und zu den Wechselwirkungen ausgegeben (Multivariate Tests – Methode des allgemeinen linearen Modells) dabei gilt die “Pillai-Spur” als robustester Test.  Es wird ein höchst signifikanter Einfluss der Zeit Festgestellt, die Wechselwirkung mit der Zeit ist hingegen nicht signifikant (Zeit p<0,0001  Zeit:Therapie p=0,385).  Es folgt der Mauchly-Test auf  Sphärizität, er prüft ob die Voraussetzung der Sphärizität gegeben sind. In unserem Beispiel ist der Wert Signifikant (p<0,0001) das bedeutet die Voraussetzung ist nicht gegeben. Daher werden die Ergebnisse in der Tabelle “Tests der Innersubjekteffekte”  (Methode nach Fischer) die Zeile “Greenhouse-Geisser” entnommen. Es ergeben sich ähnliche Ergebnisse wie bei der “Pillai-Spur” (Zeit p<0,0001  Zeit:Therapie p=0,263). Es folgt die Berechnung der Nicht-Messwiederholungsfaktoren (Tests der Zwischensubjekteffekte). Es ergibt sich ein nicht signifikanter Einfluss der Therapie (p=0,073). (Vergl. Bühl 2005)

Tab2:  Multivariate Tests

Tab3:  Mauchly-Test auf Sphärizität prüft ob die Voraussetzung der Sphärizität gegeben ist.

Tab4: Tests der Innersubjekteffekte

Tab5: Tests der Zwischensubjekteffekte

Auswerten mit R

Wenn die Auswertung mit R berechnet wird, schaut das Ergebnis kompakter und übersichtlicher aus. Allerdings muss man sich “vorher” Gedanken machen, welche Zusammenhänge wichtig sind. Eine gute Anleitung dazu gibt es hier R and Analysis of Variance und hier  Katholieke Universiteit Leuven, weiterführende Aspekte (Post-Hoc Tests)  beschreibt  Paul Gribble in seinem Blogbeitrag  Repeated Measures ANOVA using R.
Ich habe den traditionellen Ansatz mit einem F-Test gewählt den R-Code dazu gibt es hier zum Ausprobieren dabei habe ich mich weitgehend  an Sachs 2009 Seite 547 angelehnt. Die Berechnungen sind identisch mit denen von SPSS da die gleichen Rechenschritte zugrunde liegen, der Einfluss der Zeit ist signifikant (p<0,0001) die Wechselwirkung hingegen ist nicht signifikant (p=0,257) und er Einfluss der Therapie ist nicht Signifikant (p=0,073).

Tab 6: Auswertung mit R aov(formula = Messwert ~ Therapie * Zeit + Error(Proband))

Tab7: Zwischensubjekteffekte

Interpretation der Ergebnisse

Die Interpretation der Ergebnisse geht von der Hypothese aus: “Es besteht keine Wechselwirkung zwischen Therapie (Studienfaktor) und der Zeit. Laut den Ergebnissen der Varianzanalyse besteht keine Wechselwirkung mit der Therapie. Im Profildiagramm (Abb. 1) und in der Berechnung der Maximalwerte und der Fläche unter der Kurve (AUC, area under curve) zeichnet sich aber ein messbarer Effekt der Therapie ab.  Die Daten im Beispiel zeigen deutlich das manchmal einfachere Methoden besser geeignet sind Daten zu beschreiben.

Wenn in Bezug auf die Auswertung von Messwiederholungen Fragen offen sind, können Sie sich gerne an mich wenden hier der Link zum Kontaktformular.

Literatur:

[1] Sachs, Lothar ;und Jürgen Hedderich; A ngewandte Statistik : Methodensammlung mit R; Berlin : Springer Berlin, 2009 Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R

[2]  Bühl, Achim und Peter Zöfel; SPSS 12. Einführung in die moderne Datenanalyse unter Windows. 9. Auflage. München u.a., Pearson Studium, 2005 SPSS 18 (ehemals PASW): Einführung in die moderne Datenanalyse
[3] Everitt, Brian and Hothorn Torsten; A Handbbook of Statistical Analyses Using R,Chapman & Hall; 2006 (Chapter 10 Analysing Longitudinal Data)

Zur Veranschaulichung habe ich hier ein fiktives Beispiel. Es handelt von einer Befragung von Kunden eines Supermarktes. Die Kunden werden befragt, welche Art von Lebensmitteln sie bevorzugen: (a) Produkte aus konventioneller Landwirtschaft (Tab. 1) und (b) Produkte aus biologischer Landwirtschaft. Dabei Reihen die Kunden Begriffe die im Zusammengang mit den Produkten stehen nach Wichtigkeit, zu den Kriterien zählen Qualität, Aussehen, Vielfalt, Verfügbarkeit und Preis. Durch die Betrachtung der Häufigkeiten der Rangplätze lässt sich schon gut abschätzen, welcher Begriff an erster Stelle steht, hier ist bei den Produkte aus konventioneller Landwirtschaft der “Geschmack” an erster Stelle und bei Produkte aus biologischer Landwirtschaft die “Qualität”.
(a) Produkte aus konventioneller Landwirtschaft

Was sich nicht aus den Häufigkeiten ableitet, ist die Information wie bedeutend der Unterschied unter den Rangplätzen ist. Dafür kann die oben beschriebene Maßzahl angewendet werden. Da es sich um einen z-Transformierten Wert handelt, kann der Wert zum Abschätzen der “Wichtigkeit” dienen.
(b) Produkte aus biologischer Landwirtschaft

In diesem Beispiel zeigt sich, dass bei Kunden die Bioprodukte kaufen “Qualität” überdurchschnittlich an erster Stelle steht und das bei Kunden die konventionelle Produkte kaufen, “Geschmack”, “Preis” und “Vielfalt” gleichwertig sind und hier an erster Stelle stehen.

(c)Gegenüberstellung biologischer Landwirtschaft mit konventioneller Landwirtschaft

Literatur:
[1]Bortz, J. & Döring, N. (2006). Forschungsmethoden und Evaluation für Human- und Sozialwissenschaftler (4. Auflage). Berlin: Springer. Seite 155 Forschungsmethoden und Evaluation: für Human- und Sozialwissenschaftler

Das Kano-Modell unterscheidet fünf Ebenen der Qualität:
Basis-Merkmale, selbstverständlich Eigenschaft (Must-be)
Leistungs-Merkmale, bewusste Eigenschaften (One-dimensional)
Begeisterungs-Merkmale, nutzen stiftende Merkmale (Attractive)
Unerhebliche Merkmale (Indifferent)
Rückweisungs-Merkmale (Reverse)

Der so genannte Kano-Fragebogen besteht aus zwei hypothetischen Fragen, die funktionale Frage und die dysfunktionale Frage. Für die Beantwortung steht eine sechsteilige Antwortskala bzw. eine dreiteilige modifizierte Antwortskala zur Verfügung.
Die funktionale Frage bezieht sich auf vorhandene Attribute eines Produkts
und die dysfunktionale Frage auf die Nicht-Existenz des Attributs.

Beispiel:
Das Geschäft ist leicht zu finden. Was denken Sie darüber?
• Das würde mich sehr freuen
• Das setze ich voraus
• Das ist mir egal

Das Geschäft ist nicht leicht zu finden. Was denken Sie darüber?
• Das ist mir egal
• Das könnte ich in Kauf nehmen
• Das würde mich sehr stören

Die Datenerhebung ist die eigentliche Herausforderung eines Kano-Umfrageprojektes. Durch den Aufbau der Fragen ist die Befragung sehr monoton und verlangt viel Einsatz vom Befragten. Es ist daher für den Erfolg der Untersuchung wichtig seine Untersuchungsgruppe genau zu kennen und Anweisungen zum richtigen Ausfüllen in Form von Beispielen dem Fragebogen beizulegen.

Die Datenanalyse der Kano-Methode erfolgt über Auswertung nach Häufigkeiten dazu existieren Auswertungsregeln. Technisch werden die Häufigkeiten mittels der Auswertungstabelle kodiert. Bei wenigen Daten empfiehlt es sich die Kodierung händisch zu erfassen. Bei großen Datenmengen mit Excel oder Open Office über Formeln (wenn dann Bezüge) mit SPSS geht es über Umcodieren der Variablen. Am eleganteste geht es mit der Statistik-Software R.

Category Strength ist eine Maßzahl die die angibt ob eine Anforderung nur in eine Kategorie gehört.

Total Strength als zweite Maßzahl gibt an wie hoch der Anteil an bedeutenden Produktmerkmalen ist.

Eine detaillierte Datenanalyse stellen die Kundenzufriedenheitskoeffizienten dar (CS+ Zufriedenheits-Koeffizient und CS- Un-Zufriedenheits-Koeffizient ).

Der Wertebereich reicht von eins bis null (CS+) und von null bis minus eins (CS-). Werte ab 0,5 bzw.-0,5 werden als bedeutsam betrachtet.

Self-Stated Importance (Fong-Test) Signifikanz der Zuordnung

Beispiel Auswertung Kano-Methode

Beispiel Grafik Kano-Methode Zufriedenheitsfaktoren

Literatur:
[1] Elmar Sauerwein; Das Kano-Modell der Kundenzufriedenheit; 2000 Das Kano- Modell der Kundenzufriedenheit.

[2] Wikipedia; Kano-Modell; http://de.wikipedia.org/wiki/Kano-Modell

[3] Jörg A. Holzing; Die Kano-Theorie der Kundenzufriedenheitsmessung; 2008 Die Kano-Theorie der Kundenzufriedenheitsmessung: Eine theoretische und empirische Überprüfung

Beratung:
Wenn Sie eine Professionelle Auswertung Ihrer Daten benötigen können Sie mich gerne kontaktieren.
DI Wolfgang Peter Data Engineering & Statistics www.statistik-peter.at